Maths et Philo

La géométrie comme un jeu

Elles ne sont que 5 figures régulières en 3D, autrement dit, à avoir des arêtes et des faces égales. Aussi dénommées « Solides de Platon ».
Le terme « géodésique » est un terme mathématique, que B. Fuller a utilisé pour décrire son approche, il désigne habituellement le plus court chemin entre deux points sur une surface sphérique ou plus généralement courbe.

solides platon

Mais quoi faire avec des géodes ou des sphères pour obtenir des DG ?
Les Polyèdres réguliers convexes sont le point de départ. Mon choix s’est arrête sur l’icosaèdre pour ses nombreuses symétries et les dimensions modestes de chaque élément, disons qu’il respire l’harmonie.
On les subdivise, on les étire, on les tronque. Bref, on maltraite ces jolies formes.
On peut aussi les combiner entre elles, par exemple icosaèdre, dodécaèdre et triacontaèdre.

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On parle de classes, de méthodes et de fréquences.
On les matérialise en plastique, en bois, en béton, en inox, en alu, en galva, en sacs de terre ou en verre, ou tout ce que vous voudrez.
On en fabrique ou on en découvre de tout petits (atomiques, biologiques) ou de très grands (plus de 100m de diamètre).

Il faut bien que la somme de tous les angles des polygones (en commençant par les triangles) qui se rejoignent à un sommet soit inférieure à 360° pour obtenir un relief, sinon on se retrouverait à plat. Ou « à l’envers ». Outre les 5 polyèdres réguliers convexes, notons pour être précis qu’il existe aussi 4 polyèdres réguliers étoilés (ou concaves), mais ceux là je ne sais pas trop quoi en faire.

On se souvient que la somme des angles d’un triangle plan fait 180°.
Il faut également qu’on rencontre au moins trois figures planes à chaque sommet. S’il n’y en a que deux, c’est une arête entre deux plans et non plus un sommet.
En reliant ces deux conditions, on voit que l’on peut travailler avec des pentagones, et en assembler 3 à un sommet pour arriver à 3 X 108°, sous la limite des 360°.
Si je prends 6 triangles équilatéraux je reste dans le plan avec 360°. En en prenant 5, j’obtiens un angle solide, celui de l’icosaèdre. si j’en prends 4, c’est celui de l’octaèdre (soit un assemblage de deux pyramides régulières) et 3 seulement forment un sommet de tétraèdre.

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Avec ces raisonnements de modélisation, on confirme qu’il n’y a que 5 polyèdres, aucun autre n’est possible pour répondre aux conditions initiales.

Un autre raisonnement est aussi à l’œuvre en 2D et est extrapolable en 3D :
Plus un polygone a de cotés, plus sa surface est grande et la limite en est le disque.
Plus un polygone est régulier (cotés égaux), plus sa surface aussi est grande.
On extrapole alors aux polyèdres réguliers de Platon et aux semi réguliers, les 15 d’Archimède ou les 15 de Catalan, avec leurs subdivisions géodésiques.
Plus il y a de facettes et plus elles sont semblables, et plus le volume quasi-sphérique est important pour une enveloppe minimale.

Les Polyèdres réguliers ont des noms et affichent ici leurs propriétés :Polyèdres réguliers data

Cette formule pour les polyèdres réguliers a été attribuée tantôt à Euler, tantôt à Descartes :
S – A + F = 2

Il y a aussi les polyèdres semi-réguliers et toute une ribambelle de dérivés.
La « super ellipse » combine sphéricité et logeabilité.

Icosaèdre

La géode d’un projet sera identifiée en icosaèdre (ou autre polyèdre régulier), avec sa fréquence, son diamètre et son profil fractionnaire.icosarouge_tourne_b

L’icosaèdre est une figure souvent utilisée, parce qu’à base de triangles (la plus grande rigidité), elle est aussi la plus proche en surface (20 faces équilatérales elles même souvent subdivisées) de la sphère, gage de durabilité d’efficience et d’harmonie.  On peut dire qu’elle optimise le volume polyédrique dans la sphère circonscrite.
Une figure alternative « simplifiée » existe : c’est l’icosaèdre tronqué constitué de 6 pentagones entourés d’hexagones. C’est un peu moins rond, mais on peut le gonfler pour en faire un ballon.Trunc-icosa
On connait différentes manières de construire un icosaèdre :
Euclide part d’un segment de droite XY qui sera le diamètre de la sphère circonscrite. Son milieu Z, étant le centre de la sphère.
Pappus part d’une sphère donnée et suppose l’icosaèdre construit; il le décrit comme posé sur l’une de ses bases.
Ce qui revient à développer les 20 triangles équilatéraux dans le plan et à les « monter » en 3D.

Celle que je préfère : je prends 3 rectangles d’or égaux (a=1,b=(1+racine5)/2).
Je les centre à 90° les uns des autres. Les 12 sommets forment l’icosaèdre.
Visitez (fr) le site de maths de Thérèse Eveillau ici pour Platon et à l’accueil.  

Icosahedron-golden-rectangles.svgAjoutons que les 30 arêtes de l’icosaèdre régulier définissent 15 rectangles d’or.
Ici chez Greg Egan et plus loin chez John Baez c’est en anglais et un peu plus…

Les symétries sont particulièrement abondantes : Il existe 60 rotations laissant globalement invariant l’icosaèdre : la rotation d’angle nul, 15 rotations d’un demi-tour, 20 rotations d’un tiers de tour et 24 rotations d’un angle multiple d’un cinquième de tour. Et autant d’autres symétries (centre, axes, plans…).
Cette page du CNRS est intéressante.
Et celle de Mathcurve tout autant.

Bien des façons de travailler l’icosaèdre (et ses copains)

En pratique, une fois un diamètre déterminé, on va veiller à faire en sorte que les tailles des cotés et des triangles soient faciles à œuvrer;
Si le but de l’édifice est une maison, on choisi généralement des dimensions de 1 à 2,5 mètres et un nombre de subdivisions (fréquence) de 2 à 5 pour faciliter tant la phase de construction que l’usage ultérieur, pour poser une fenêtre ou le passage d’une porte par exemple.
Pour des serres, une fréquence 2 ou 3 peut suffire, et pour de grandes structures, un peu, voire beaucoup plus de subdivisions.

Il y a plusieurs méthodes (pour un icosaèdre en fait je n’ai approfondi que la méthode 1 qui consiste à projeter des segments parallèles et égaux pour subdiviser les grands triangles) pour effectuer les subdivisions, de toutes façons on procède à des projections sur les arcs du triangle sphérique.Sphere greatcircles_6Les grands cercles :
Ce sont les cercles sur la sphère qui ont le même centre qu’elle, c’est aussi l’intersection de cette sphère avec un plan qui passe par son centre. On généralise ici l’expression GC aux cercles sur la sphère qui vont partager équitablement les arêtes de l’icosaèdre selon les triangles sphériques.
Ce sont bien sur des géodésiques.
Sur Geodesics Unltd (en anglais) ils ont fait un effort pédagogique pour exposer différentes variantes pour les facettes, les modes de projection et les segmentations.

Attention, ceci n’est pas un cours de géométrie, c’est juste histoire d’éclairer un peu ce qui nous occupe.
Et les calculs initiaux des domebooks ont été fait (déjà) sur ordinateur.

Les Tables sont à la géométrie ce qu’une recette est à la cuisine

Une fois la géode identifiée, je me retrouve avec une table, des entités et des valeurs:
Le facteur de corde, c’est le rapport entre la longueur d’une arête et le rayon de la sphère et il dépend de la fréquence et du mode de subdivision de l’icosaèdre.
C’est le facteur de corde multiplié par le rayon qui vous donne la longueur d’une arête
L’angle axial est celui entre l’extrémité d’une arête et le rayon au centre.
L’angle dièdre, l’angle entre deux faces contigües.

Pour un Icosaèdre complet, Fréquence 3, classe 2 (ref Domebook2)
Icosa F3 data

Une géode est rarement entière et connaître le nombre de cotés de chaque type est nécessaire :
le plus souvent, on n’en construit qu’une partie supérieure et on donne une fraction simple pour exprimer le rapport entre la hauteur (du sommet au sol) et le diamètre de la sphère circonscrite au polyèdre original.(par exemple en 5/8 ème de sphère, en fait c’est 5/9 ème).

Mieux vaut prendre aujourd’hui  les calculs de Domebook 3 (Shelter / Habitats) pour avoir une base plate au sol :Tables_DB3_01-2013-05-22_150339Tables_DB3_02-2013-05-22_150339

Si on souhaite aller au delà des solutions de base, les développements de B. Fuller sur la construction de géodes sont exposés dans Wikipédia ici et de nombreux sites de mathématiciens proposent leurs analyses de ces objets singuliers.
Voici déjà quelques formules :Icosaedre regulier formulesTous les nœuds de la base peuvent être (ou non) sur le même plan horizontal.
Et il peut aussi y avoir des découpages de géodes qui épouseront un terrain en relief par exemple ou plusieurs géodes combinées.

On donnera la définition d’une structure pour un habitat ainsi :
Icosaèdre de 10 m de diamètre, fréquence 3, classe 2, (méthode 1) et 5/9 ème de sphère.
Dès ce stade, construire une maquette un peu durable est la chose à faire, pour toucher et mieux voir le volume créé.

Et comme disait Henri Poincaré : « La logique, qui peut seule donner la certitude, est l’instrument de la démonstration: l’intuition est l’instrument de l’invention. »

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