Dimensions

Un petit tour en 4D

Un jeu qui amuse petits et grands consiste à prendre 6 allumettes et à demander qui sait construire 4 triangles équilatéraux avec. Le plus souvent l’on tend à chercher la solution sur la table sans trouver, autrement dit dans le plan 2D.
Pour résoudre cette affaire, il faut passer en 3D et bâtir le tétraèdre qui résout la mini énigme.Tesseract_b_2hCe qui nous amène à la 4D, l’hyperespace si vous préférez, avec cette représentation du tesseract en code couleur pour vous inciter à franchir le pas.
Nous y rencontrons aussi des figures régulières, des polytopes; ils sont en relation avec les polyèdres 3D de manière analogue à celui qui lie ces derniers aux polygones plans.
Contentons nous de dire que l’on y rencontre seulement 6 polytopes réguliers inscrits à l’hypersphère.

Stereographic_polytope_8cellChaque Tesseract est désigné par le nombre de cellules et leur type :
C5, tétraèdres
C8, cubes
C16, octaèdres
C24, tétraèdres
C120, dodécaèdres
et C600 tétraèdres
Une projection orthogonale d’un tesseract cube donne selon qu’on le projette d’une cellule, d’une face, d’une arête ou d’un somment, un polyèdre différent.

« Dans l’espace à trois dimensions, un trèfle à trois feuilles est composé de trois feuilles minces et s’inscrit dans le triangle équilatéral.
Mais dans l’espace à quatre dimensions, un tel trèfle sera composé de quatre feuilles épaisses et s’inscrira dans le tétraèdre régulier.
De façon similaire, dans l’espace à trois dimensions, un trèfle à quatre feuilles possède quatre feuilles minces et s’inscrit dans le carré.
Mais dans l’espace à quatre dimensions, un tel trèfle aura de six à huit feuilles épaisses et s’inscrira dans le cube ou l’octaèdre régulier, les deux étant mutuellement duals. »

Koji Miyazaki
Structural Topology #10, 1984 ( épuisé, mais si vous avez une piste, faites moi signe ).

Vous pouvez aussi lire (fr) à propos des polytopes C24 cette page de Gérard Lavau.

Polyèdres fractals

Et bien ça existe et il y a même une page Wikipedia pour ces objets.
480px-Icosaedron_fractal
Je me suis demandé quelle était la dimension fractionnaire de ces solides, dite dimension de Hausdorff. Vous savez pour le chou fleur ou le romanesco, on est entre deux et trois (une surface en 3D), le brocoli c’est 2,66 et le cerveau humain 2,79.
La réponse pour l’icosaèdre, c’est 2,5819.

Et les formes et le temps ?

La dynamique des formes de Julian Barbour remplace la relativité du temps par la relativité de la taille des objets. Ce qui n’est pas rien. Cette cosmologie se présente comme une alternative à la relativité générale d’Einstein (qu’elle confirme localement) et elle pose le principe d’un instant universel, allant jusqu’à dire que le temps n’est qu’illusion humaine.

L’astronome Lee Smolin reprend ses travaux et ceux de quelques autres : « Le temps absolu est la mesure de l’expansion de l’univers. » Pour avoir une vue plus détaillée de sa cosmologie, vous pouvez consulter (fr) le blog du Dr Goulu.

A lire et à méditer tout autant : https://sensethescience.wordpress.com/2016/02/03/mandala-technologique/

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